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By Demetrio Stojano
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Por la construcci´on deducimos de inmediato que T a = y, por lo que T es epi. El iso T˜ se construye pasando al cociente al epi T reci´en construido y aplicando el Cor. 6. 4 Teorema del gr´ afico cerrado. Sean E y F dos EN’s y T : E → F un operador K-lineal. Su gr´afico es Gr (T ) = (x, y) ∈ E × F : x ∈ E e y = T x = (x, T x) : x ∈ E ⊆ E × F . La linealidad de T hace que Gr (T ) sea un subespacio de E × F . 14) es evidentemente una norma para E × F . Observar que produce la topolog´ıa producto, porque la convergencia en E × F equivaldr´a a la convergencia en ambas entradas a la vez.

Sean Ω ⊆ R un intervalo y Cc∞ (Ω) las funciones definidas en Ω infinitamente deribables con soporte compacto. Dada f ∈ L1loc (Ω), decimos que una funci´on g ∈ L1loc (Ω) es la k-´esima derivada d´ebil de f , y lo escribimos Dk f = g, si para toda φ ∈ Cc∞ (Ω) se satisface la siguiente identidad: f φ(k) dx = (−1)k Ω g φ dx. Ω Se puede probar que estas derivadas en el sentido d´ebil son u ´nicas. 37 (Espacios de Sobolev). Para 1 ≤ p ≤ ∞ definamos el espacio de Sobolev W n,p como el espacio de todas las funciones f ∈ Lp (Ω) tales que para cada k ∈ In la derivada Dk f existe en el sentido d´ebil y pertenece a Lp (Ω).

Sea (E, · ) un EN. Son equivalentes: 1. E es un espacio de Banach. 2. La bola BE es completa. 3. La c´ ascara SE = {x ∈ E : x = 1} es completa. xn < ∞ =⇒ 4. Para toda sucesi´ on (xn )n∈N en E vale que n∈N xn converge en E. 48. Sean E un EN, F ⊆ E un subespacio de dimensi´on finita y x ∈ E. Probar que existe un y0 ∈ F que realiza la distancia, o sea que x − y0 = d (x , F). 49. Sea E un EN. Dados S , T E definamos def A(S , T ) = ´ınf { s − t Demostrar que S + T : s∈S , t∈T y s = t = 1} . E ⇐⇒ A(S , T ) > 0.

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Analisis Funcional vs. Matricial by Demetrio Stojano
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by Kevin
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