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By Professor Gert Böhme (auth.)

ISBN-10: 3540150919

ISBN-13: 9783540150916

ISBN-10: 3642968821

ISBN-13: 9783642968822

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3 x 52 1. Integralrechnung Satz Man kann den Integrationsweg in beliebig endlich viele Teilwege aufspalten und tiber jeden Teilweg einzeln integrieren, ohne daB sich dadurch der Wert des Integrals andert c J b f(x)dx = a J J b f(x)dx f(x)dx + a c Beweis: Gilt fUr die linke Seite f b = F(b) f(x)dx - F(a) , a so folgt fUr die rechte Seite c J a J b f(x)dx + f(x)dx = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a), c womit die Ubereinstimmung bereits gezeigt ist (A bb. 4). Ubrigens darf c auch auBer- = a, halb der Strecke a b liegen.

Fur das erste Integral folgt damit I Iv x 2 + a 2' dx = a cosh t a cosh t dt = a =2a 2 a cosh 2 t dt (sinh t cosh t + t) + C ( 2 2I ~~ 2 (:2 Vx 2 + + ar sinh ~) a 2 ' + ar sinh + C ~) + C oder bei Verwendung der logarithmischen Darstellung Iv x 2 + a 2' dx = ~2 ( :2 Vx 2 + a 2' + In ( x + Vx 2 + a 2')) 2. ,2 Formale Integrationsmethoden 25 oder durch Zuriickgehen auf das zugehorige Grundintegral Beispiele 1. I 2 1 V sinh t + 1 + C = _ 1. 1 2 +C=-2' V x x + 2 V2: 2. Zur Losung des Integrals I = fV 9x2 - 6x + 10 Idx wird man zunachst den Radikanden gemaB 9x 2 _ 6x + 10 = (3x _ 1)2 umformen und substituieren 3x - 1 dx Damit nimmt das Integral die Form =t 1 ="3 dt.

Fur x =a ist dann I(x) = I(a) = 0, fUr x = b wird I(x) gleich der gesuchten Flache I(b) = I. Wir wollen jetzt den analytischen Zusammenhang zwischen der "Kurvenfunktion" x .... f(x) und der "Inhaltsfunktion" x .... I (x) herstellen. 5 die Ungleichung hf(x) < I(x + h) - I(x) < hf(x + h). 1. Integralrechnung 56 Anschaulich besagt diese, daB der zwischen x und x + h liegende (schraffierte) Flachenstreifen zwischen dem einbeschriebenen Rechteck der Hohe f{x) und dem umbeschriebenen Rechteck der Hohe f{x + h) liegt.

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Analysis: Teil 2 Integralrechnung, Reihen, Differentialgleichungen by Professor Gert Böhme (auth.)


by Ronald
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